Формула Байеса

Пусть H₁,H₂,...,H_n - полная группа событий и А - некоторое событие. Тогда по
формуле для условной вероятности



Здесь P(H_k /A) - условная вероятность события (гипотезы) H_k или вероятность
того, что H_k реализуется при условии, что событие А произошло.
По теореме умножения вероятностей числитель формулы (*) можно представить
в виде



Для представления знаменателя формулы (*) можно использовать формулу
полной вероятности



Теперь из (*) можно получить формулу, называемую формулой Байеса:



По формуле Байеса исчисляется вероятность реализации гипотезы H_k при
условии, что событие А произошло. Формулу Байеса еще называют формулой
вероятности гипотез.
Пример.Рассмотрим приведенную выше задачу об электролампах, только
изменим вопрос задачи. Пусть покупатель купил электролампу в этом магазине, и она
оказалась бракованной. Найти вероятность того, что эта лампа изготовлена на втором
заводе.
Выпишем формулу Байеса для этого случая


Из этой формулы получаем: P(H₂ / A) = 15/34
Предлагаем читателю решить самостотельно две задачи.
№1.В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй - 8 белых и 2 черных. Из первой
урны случайным образом извлекается шар и перекладывается во вторую урну. После
перемешивания шаров во второй урне из нее извлекается один шар. Найти вероятность
того, что извлеченный из второй урны шар — белый.
№2.В условие задачи №1 внесем изменение. Пусть после перекладывания шара из
первой урны во вторую из второй урны извлечен белый шар. Найти вероятность того,
что из первой урны во вторую был переложен черный шар.