Пример..Из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шаров, наудачу один за
другим извлекают (без возвращения) два шара. Какова вероятность того, что первый
шар будет белым, а второй черным?
Пусть X — событие, состоящее в извлечении первым белого шара, а Y —
событие, состоящее в извлечении вторым черного шара. Тогда X
Y - событие,
заключающееся в том, что первый шар будет белым, а второй — черным. P(Y/X) =3/9
=1/3 — условная вероятность извлечения вторым черного шара, если первым был
извлечен белый. Учитывая, что P(X) = 7/10, по формуле умножения вероятностей
получаем: P(X
Y) = 7/30
Событие А называется независимым от события В (иначе: события А и В
называются независимыми), если Р(А/В)=Р(А). За определение независимых событий
можно принять следствие последней формулы и формулы умножения
Докажите самостоятельно, что если А и В — независимые события, то A и B
тоже являются независимыми события.
Пример.Рассмотрим задачу, аналогичную предыдущей, но с одним
дополнительным условием: вытащив первый шар, запоминаем его цвет и возвращаем
шар в урну, после чего все шары перемешиваем. В данном случае результат второго
извлечения никак не зависит от того, какой шар - черный или белый появился при
первом извлечении. Вероятность появления первым белого шара (событие А) равна
7/10. Вероятность события В - появления вторым черного шара - равна 3/10. Теперь
формула умножения вероятностей дает: P(А
В) = 21/100.
Извлечение шаров способом, описанным в этом примере, называется выборкой
с возвращением или возвратной выборкой.
Следует отметить, что если в двух последних примерах положить изначальные
количества белых и черных шаров равными соответственно 7000 и 3000, то результаты
расчетов тех же вероятностей будут отличаться пренебрежимо мало для возвратной и
безвозвратной выборок.
Математика