Точечные оценки параметров генеральной совокупности могут быть
приняты в качестве ориентировочных, первоначальных результатов
обработки выборочных данных. Их недостаток заключается в том, что
неизвестно, с какой точностью оценивается параметр. Если для выборок
большого объема точность обычно бывает достаточной (при условии
несмещенности, эффективности и состоятельности оценок), то для
выборок небольшого объема вопрос точности оценок становится очень
важным.
Введем понятие интервальной оценки неизвестного параметра
генеральной совокупности (или случайной величины
![Интервальные оценки. Интервальные оценки.](/pic/el.jpg)
, определенной на
множестве объектов этой генеральной совокупности). Обозначим этот
параметр через
![Интервальные оценки. Интервальные оценки.](/pic/aa.jpg)
. По сделанной выборке по определенным правилам
найдем числа
![Интервальные оценки. Интервальные оценки.](/pic/aa.jpg)
1 и
![Интервальные оценки. Интервальные оценки.](/pic/aa.jpg)
2, так чтобы выполнялось условие:
Числа
![Интервальные оценки. Интервальные оценки.](/pic/aa.jpg)
1 и
![Интервальные оценки. Интервальные оценки.](/pic/aa.jpg)
2 называются доверительными границами, интервал (
![Интервальные оценки. Интервальные оценки.](/pic/aa.jpg)
1 ,
![Интервальные оценки. Интервальные оценки.](/pic/aa.jpg)
2)
— доверительным интервалом для параметра
![Интервальные оценки. Интервальные оценки.](/pic/aa.jpg)
. Число y называется
доверительной вероятностью или надежностью сделанной оценки.
Сначала задается надежность. Обычно ее выбирают равной 0.95,
0.99 или 0.999. Тогда вероятность того, что интересующий нас параметр
попал в интервал (
![Интервальные оценки. Интервальные оценки.](/pic/aa.jpg)
1 ,
![Интервальные оценки. Интервальные оценки.](/pic/aa.jpg)
2) достаточно высока. Число (
![Интервальные оценки. Интервальные оценки.](/pic/aa.jpg)
1 +
![Интервальные оценки. Интервальные оценки.](/pic/aa.jpg)
2) / 2 – середина
доверительного интервала – будет давать значение параметра
![Интервальные оценки. Интервальные оценки.](/pic/aa.jpg)
с
точностью (
![Интервальные оценки. Интервальные оценки.](/pic/aa.jpg)
1 -
![Интервальные оценки. Интервальные оценки.](/pic/aa.jpg)
2) / 2, которая представляет собой половину длины
доверительного интервала.
Границы
![Интервальные оценки. Интервальные оценки.](/pic/aa.jpg)
1 и
![Интервальные оценки. Интервальные оценки.](/pic/aa.jpg)
2 определяются из выборочных данных и являются
функциями от случайных величин x
1, x
2,..., x
n , а следовательно – сами
случайные величины. Отсюда – доверительный интервал (
![Интервальные оценки. Интервальные оценки.](/pic/aa.jpg)
1 ,
![Интервальные оценки. Интервальные оценки.](/pic/aa.jpg)
2) тоже
случаен. Он может покрывать параметр или нет. Именно в таком смысле
нужно понимать случайное событие, заключающееся в том, что
доверительный интервал покрывает число
![Интервальные оценки. Интервальные оценки.](/pic/aa.jpg)
.