Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной
дисперсии.
Пусть имеется нормально распределенная случайная величина
,
определенная на множестве объектов некоторой генеральной
совокупности. Известно, что
=
. Математическое ожидание
неизвестно. Допустим, что имеются основания предполагать, что
= a,
где a – некоторое число (такими основаниями могут быть ограниченные
сведения об объектах генеральной совокупности, опыт исследования
подобных совокупностей и т. д.). Будем считать также, что имеется другая
информация, указывающая на то, что
= a
1, где a
1 > a.
I. Выдвигаем нулевую гипотезу H
0:
= a;
при конкурирующей гипотезе H
1:
= a
1.
Делаем выборку объема n: x
1, x
2,..., x
n . В основе проверки лежит тот
факт, что случайная величина
(выборочная средняя) распределена по
нормальному закону с дисперсией
/n и математическим ожиданием,
равным a в случае справедливости H
0, и равным a
1 в случае
справедливости H
1.
Очевидно, что если величина x оказывается достаточно малой, то
это дает основание предпочесть гипотезу H0 гипотезе H
1. При достаточно
большом значении x более вероятна справедливость гипотезы H
1. Задачу
можно было бы поставить так: требуется найти некоторое критическое
число, которое разбивало бы все возможные значения выборочной
средней ( в условиях данной задачи это все действительные числа ) на два
полубесконечных промежутка. При попадании
в левый промежуток
следовало бы принимать гипотезу H
0, а при попадании
в правый
промежуток предпочтение следовало бы оказать гипотезе H
1. Однако на
самом деле поступают несколько иначе.
В качестве статистического критерия выбирается случайная
величина
,
распределенная по нормальному закону , причем
= 0 и Dz = 1 ( это
следует из свойств математического ожидания и дисперсии ) в случае
справедливости гипотезы H
0. Если справедлива гипотеза H
1, то
.
Математика