Здесь х – величина малого интервала.
Очевидно, что если . Обозначим р(х)
предел отношения к при , если такой предел
существует:



Функция р(х) называется плотностью распределения случайной величины. Из
формулы (1) следует равенство, справедливое для малых величин , которое
также можно считать определением функции р(х):



Очевидно, что p(x) – неотрицательная функция. Для определения вероятности
того, что случайная величина примет значение из промежутка [a, b] конечной
длины, нужно выбрать на промежутке произвольные числа x₁, х2,..., хn
удовлетворяющие условию а=х0<эх1
промежуток [a, b] на n+1 частей, представляющих собой промежутки [х0, х1),
[х1, х2), ...,[хn, b]. Введём обозначения:



и составим сумму . Рассмотрим процесс, при котором число точек
разбиения неограниченно возрастает таким образом, что максимальная
величина i стремится к нулю. Будем считать функцию p(x) непрерывной на
промежутке (а; b), тогда пределом суммы будет определённый
интеграл по промежутку [a; b] от функции p(x), равный искомой вероятности:



Это равенство можно также рассматривать как определение функции р(х).
Отсюда следует, что вероятность попадания случайной величины в любой
интервал (х1, х2) равна площади фигуры,
образованной отрезком [х1, х2] оси х,
графиком функции р(х) и вертикальными
прямыми х = х1, х = х2, как изображено на
рисунке 1.